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<!DOCTYPE html>

<title>Triangle</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Triangle</span></h1>

</header>

</div>

</p>

<td colspan="2" class="entete defaut" style="background-color:#E7DCC3;color:black;">Triangle

</td></tr>

<tr><td colspan="2" style="text-align:center; line-height: 1.5em;"> <br>Représentation d'un triangle, de ses <a href="Sommet_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Sommet (géométrie)">sommets</a> A, B et C, de ses longueurs de côtés <i>a</i>, <i>b</i> et <i>c</i>, et de ses <a href="Angle" title="Angle">angles</a> <i>α</i>, <i>β</i> et <i>γ</i>.

</td></tr>

<tr>

<tr>

<td>Polygone</td>

</tr>

<tr>

<th scope="row"><a href="Ar%C3%AAte_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Arête (géométrie)">Arêtes</a>

</th>

<td>3

</td>

</tr>

<tr>

<th scope="row"><a href="Sommet_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Sommet (géométrie)">Sommets</a>

</th>

<td>3

</td>

</tr>

<tr>

<tr>

</th>

<td><span class="texhtml"><span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;"><i>base</i> × <i>hauteur</i></span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span></span></span></span>

</td>

</tr>

<tr>

<th scope="row"><a href="P%C3%A9rim%C3%A8tre" title="Périmètre">Périmètre</a>

</th>

</td>

</tr>

<tr>

<th scope="row">Propriétés

</th>

<td><a href="Polygone_constructible" class="mw-redirect" title="Polygone constructible">Constructible</a>

</td>

</tr>

<tr>

</tr>

</tbody></table>

<p>En <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a>, un <b>triangle</b> est une <a href="Figure_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Figure (géométrie)">figure</a> <a href="Plan_(math%C3%A9matiques)" title="Plan (mathématiques)">plane</a> formée par trois <a href="Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Point (géométrie)">points</a> (appelés <i><a href="Sommet_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Sommet (géométrie)">sommets</a></i>) et par les trois <a href="Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segments</a> qui les relient (appelés <i>côtés</i>), délimitant un domaine du plan appelé <i>intérieur</i>.

Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un <a href="Angle" title="Angle">angle</a> intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».

</p><p>Le triangle est aussi le <a href="Polygone" title="Polygone">polygone</a> le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de <a href="Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surfaces</a>.

</p><p>De nombreuses constructions géométriques de points, <a href="Droite_(math%C3%A9matiques)" title="Droite (mathématiques)">droites</a> et <a href="Cercle" title="Cercle">cercles</a> associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les <a href="%C3%89l%C3%A9ments_d'Euclide" class="mw-redirect" title="Éléments d'Euclide"><i>Éléments</i> d'Euclide</a>, près de 300 ans avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de <a href="Distance_(math%C3%A9matiques)" title="Distance (mathématiques)">distances</a> par <a href="Triangulation" title="Triangulation">triangulation</a>. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appelée <a href="Trigonom%C3%A9trie" title="Trigonométrie">trigonométrie</a>.

</p>

<p>Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcs <a href="G%C3%A9od%C3%A9sie" title="Géodésie">géodésiques</a> et beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voir <a href="Trigonom%C3%A9trie_sph%C3%A9rique" title="Trigonométrie sphérique">Trigonométrie sphérique</a>).

</p>

<p>La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreux <a href="Caract%C3%A8re_(typographie)" title="Caractère (typographie)">caractères typographiques</a> présentent une telle forme.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Description">Description</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notations">Notations</h3></div>

<p>Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (<i>a priori</i> <a href="Lettre_capitale" class="mw-redirect" title="Lettre capitale">capitales</a>) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond en général à un parcours dans le <a href="Sens_trigonom%C3%A9trique" class="mw-redirect" title="Sens trigonométrique">sens trigonométrique</a> autour du triangle<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.

</p>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\widehat {\mathrm {A} }}={\widehat {\mathrm {BAC} }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7952477e787bf0470660875976a4964256395791.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.494ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\widehat {\mathrm {A} }}={\widehat {\mathrm {BAC} }}}" loading="lazy"></span></div>

<div class="thumbcaption">Notations classiques pour un angle<br> dans un triangle (<i>ABC</i>).</div>

</div>

<p>Si tous les sommets sont distincts<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>note 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de <a href="Alphabet_grec" title="Alphabet grec">lettres grecques</a> en minuscule et en italique.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Premières_propriétés"><span id="Premi.C3.A8res_propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Premières propriétés</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inégalité_triangulaire"><span id="In.C3.A9galit.C3.A9_triangulaire"></span>Inégalité triangulaire</h4></div>

<p>La propriété <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">euclidienne</a> selon laquelle « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés :

</p>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {BC\leqslant BA+AC,~~AB\leqslant AC+CB~~et~~AC\leqslant AB+BC.}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0f12003b69f86d40bd947c1103a7c6473ffbf00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:55.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\rm {BC\leqslant BA+AC,~~AB\leqslant AC+CB~~et~~AC\leqslant AB+BC.}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Les cas d'égalité caractérisent les triangles plats, dans lesquels l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.

</p><p>Réciproquement, si on donne trois longueurs (données par trois <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> <a href="Nombre_positif" title="Nombre positif">positifs</a>) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté.

La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.

</p><p>Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Somme_des_angles">Somme des angles</h4></div>

<p>La <a href="Somme_des_angles_d'un_triangle" title="Somme des angles d'un triangle">somme des angles d'un triangle</a> est égale à un <a href="Angle_plat" class="mw-redirect" title="Angle plat">angle plat</a>, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (<a href="Degr%C3%A9_(angle)" title="Degré (angle)">degrés</a>) c'est-à-dire <a href="Pi" title="Pi">π</a> <a href="Radian" title="Radian">radians</a>. Cette propriété est une caractéristique de la <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Géométrie euclidienne">géométrie euclidienne</a>. Il existe d'autres géométries, dites <a href="G%C3%A9om%C3%A9tries_non_euclidiennes" class="mw-redirect" title="Géométries non euclidiennes">géométries non euclidiennes</a>, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_elliptique" title="Géométrie elliptique">géométrie elliptique</a>), ou, au contraire, inférieure (la géométrie est alors dite <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique" title="Géométrie hyperbolique">géométrie hyperbolique</a>).

</p><p>Réciproquement, si l'on donne trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une <a href="Demi-droite" title="Demi-droite">demi-droite</a> en chaque extrémité mais <i>du même côté</i> du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_particuliers">Cas particuliers</h3></div>

<div class="gallerytext"> <a href="Diagramme_de_Venn" title="Diagramme de Venn">Diagramme de Venn</a> des différents types de triangle</div>

</li>

<div class="gallerytext"> <a href="Diagramme_d'Euler" title="Diagramme d'Euler">Diagramme d'Euler</a> des différents types de triangle</div>

</li>

</ul>

<p>Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit <i><a href="Cas_d%C3%A9g%C3%A9n%C3%A9r%C3%A9#En_géométrie" title="Cas dégénéré">dégénéré</a></i> (ou parfois <i><span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 27/8/15)." style="cursor:help;">en aiguille</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[réf. nécessaire]</sup></i>).

</p><p>Un <b>triangle plat</b> est un triangle dont les sommets sont alignés.

</p><p>Un <b><a href="Triangle_isoc%C3%A8le" title="Triangle isocèle">triangle isocèle</a></b> est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un <a href="Sym%C3%A9trie_axiale" title="Symétrie axiale">axe de symétrie</a> en dehors des triangles plats. <span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le octobre 2013)." style="cursor:help;">Anciennement, en géométrie euclidienne, un triangle isocèle possédait exactement deux côtés égaux.</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[réf. nécessaire]</sup>

</p><p>Un <b><a href="Triangle_%C3%A9quilat%C3%A9ral" title="Triangle équilatéral">triangle équilatéral</a></b> est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.

</p><p>Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit <b>scalène</b> (du grec <i>σκαληνός</i> (<i>skalenos</i>) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…). Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

</p><p>L'adjectif « scalène » n'est pas synonyme de l'adjectif « quelconque ». Un triangle quelconque est un triangle qui peut posséder ou non des propriétés des triangles particuliers. Ainsi un triangle quelconque peut être isocèle ou équilatéral, ou même scalène. Par contre un triangle scalène ne peut être ni équilatéral ni isocèle. L'adjectif « quelconque » est employé pour insister sur le fait qu'on ne sait rien de plus à propos d'un triangle. Dès lors qu'on sait qu'un triangle possède une ou des propriété(s) particulière(s) il ne peut plus être considéré comme quelconque.

</p>

<div class="gallerytext">Triangle isocèle.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle équilatéral.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle scalène.</div>

</li>

</ul>

<p>Un <b><a href="Triangle_rectangle" title="Triangle rectangle">triangle rectangle</a></b> est un triangle ayant un <a href="Angle_droit" title="Angle droit">angle droit</a>, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a>. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un <a href="Angle_obtus" title="Angle obtus">angle obtus</a> (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est <i><a href="Obtusangle" class="mw-redirect" title="Obtusangle">obtusangle</a></i> ou <i>ambligone</i>. S'il n'y en a pas, il est <i><a href="Acutangle" title="Acutangle">acutangle</a></i> ou <i>oxygone</i> (il a alors trois <a href="Angle_aigu" title="Angle aigu">angles aigus</a>).

</p>

<div class="gallerytext">Triangle obtusangle ou ambligone.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle rectangle.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle acutangle ou oxygone.</div>

</li>

</ul>

<p>Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles :

</p>

<ul><li>le <a href="Demi-carr%C3%A9" title="Demi-carré">demi-carré</a> est un <a href="Triangle_isoc%C3%A8le_rectangle" title="Triangle isocèle rectangle">triangle isocèle rectangle</a>, qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré ;</li>

<li>le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée ;</li>

<li>le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ou dont l'un des côtés de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse ; il est appelé ainsi car il sert de modèle pour les équerres utilisée dans l'enseignement de la géométrie<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (il existe aussi des équerres en demi-carré) ;</li>

<li>le <a href="Triangle_d'or_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Triangle d'or (géométrie)">triangle d'or</a> est un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72° ;</li>

<li>le triangle d'argent ou gnomon d'or est un autre triangle isocèle, fortement lié au précédent, dont les angles à la base valent un cinquième de l'angle plat, soit 36° ;</li>

<li>le <a href="Triangle_heptagonal" title="Triangle heptagonal">triangle heptagonal</a> est un triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1 ;</li>

<li>le <a href="Triangle_de_Kepler" title="Triangle de Kepler">triangle de Kepler</a> est un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont en <a href="Progression_g%C3%A9om%C3%A9trique" class="mw-redirect" title="Progression géométrique">progression géométrique</a> selon la raison du <a href="Nombre_d'or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a>.</li></ul>

<div class="gallerytext">Demi-carré.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle des arpenteurs.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle de l'écolier.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle d'or.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Triangle de Kepler.</div>

</li>

</ul>

<p>Un triangle est dit <i>bisocèle</i> si l'une de ses <a href="Bissectrice" title="Bissectrice">bissectrices</a> le partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou d'un triangle d'or<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Le tableau suivant compare quelques-uns de ces triangles particuliers :

</p>

<th>Triangle</th>

<th>Côtés</th>

<th>Angles

</th></tr>

<tr>

<td>Équilatéral</td>

<td>Les longueurs des trois côtés sont égales</td>

<td>Les angles sont de 60°

</td></tr>

<tr>

<td>Isocèle</td>

<td>Les longueurs de deux côtés sont égales</td>

<td>Les angles adjacents à la base sont égaux

</td></tr>

<tr>

<td>Rectangle</td>

<td>Un angle est droit et les deux autres sont inférieurs à 90°

</td></tr>

<tr>

<td>Isocèle rectangle</td>

<td>Les longueurs de deux côtés sont égales</td>

<td>Un angle est droit et les deux autres sont de 45°

</td></tr>

<tr>

<td>Obtusangle</td>

<td>Un angle est supérieur à 90° et les deux autres sont inférieurs à 90°

</td></tr>

<tr>

<td>Acutangle</td>

<td>Les trois angles sont inférieurs à 90°

</td></tr></tbody></table>

</p>

<p>L'<a href="Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Aire (géométrie)">aire</a> d'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appelée <i>base</i>, et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appelée <i><a href="Hauteur_d'un_triangle" title="Hauteur d'un triangle">hauteur</a></i>.

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5b6a3f7f83767eec13c5adcbdba42683224e3fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.62ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {base} \times \mathrm {hauteur} .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'un <a href="Parall%C3%A9logramme" title="Parallélogramme">parallélogramme</a> et démontrée dans les <i><a href="%C3%89l%C3%A9ments_d'Euclide" class="mw-redirect" title="Éléments d'Euclide">Éléments</a></i> d'<a href="Euclide" title="Euclide">Euclide</a>. Elle est connue depuis les anciens égyptiens, utilisée par exemple dans le problème R51 du <a href="Papyrus_Rhind" title="Papyrus Rhind">papyrus Rhind</a>, copie de connaissances de −2000.

</p>

<p>D'autres formules font appel à la longueur des côtés (<a href="Formule_de_H%C3%A9ron" title="Formule de Héron">formule de Héron</a>) ou aux coordonnées des sommets dans un <a href="Rep%C3%A8re_orthonorm%C3%A9" class="mw-redirect" title="Repère orthonormé">repère orthonormé</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Périmètre"><span id="P.C3.A9rim.C3.A8tre"></span>Périmètre</h3></div>

<p>Le <a href="P%C3%A9rim%C3%A8tre" title="Périmètre">périmètre</a> d'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètre <i>p</i> donné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant :

</p>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}\leqslant {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5608188caa3122444ffb3b56ad9b1c12be34196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.807ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}\leqslant {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relations_trigonométriques"><span id="Relations_trigonom.C3.A9triques"></span>Relations trigonométriques</h3></div>

<p>Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles satisfont plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.

</p>

<p>Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents :

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}={\dfrac {1}{2}}ac\,\sin {\hat {B}}={\dfrac {1}{2}}ab\,\sin {\hat {C}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dd9825ec032ed1d67fe39e767940d1e0934a294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.02ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}={\dfrac {1}{2}}ac\,\sin {\hat {B}}={\dfrac {1}{2}}ab\,\sin {\hat {C}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>laquelle permet d'obtenir la <a href="Loi_des_sinus" title="Loi des sinus">formule des sinus</a> :

</p>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R={\dfrac {abc}{2{\mathcal {A}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc6a2dec39278acdb8b3067acaca668104957c65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.933ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}=2R={\dfrac {abc}{2{\mathcal {A}}}}}" loading="lazy"></span> où <span class="texhtml"><i>R</i></span> est le rayon du cercle circonscrit ;</dd></dl>

<p>d'autre part, du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'Al-Kashi" class="mw-redirect" title="Théorème d'Al-Kashi">théorème d'Al-Kashi</a> (ou <span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le mai 2012)." style="cursor:help;">théorème de Carnot</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[réf. nécessaire]</sup> ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore :

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b121815e2cb8c2aaf30ef5fb5adde6a70d714b36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:24.004ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Utilisations">Utilisations</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangulation">Triangulation</h3></div>

<p>Les <a href="Relations_m%C3%A9triques" title="Relations métriques">relations métriques</a> dans le triangle permettent d'évaluer des distances à partir de mesures angulaires, comme en <a href="Navigation_maritime" title="Navigation maritime">navigation maritime</a>, en <a href="G%C3%A9od%C3%A9sie" title="Géodésie">géodésie</a> et en <a href="Astronomie" title="Astronomie">astronomie</a>. C'est selon ce principe qu'a été mesuré le <a href="M%C3%A9ridien" title="Méridien">méridien</a> terrestre pour la définition du <a href="M%C3%A8tre" title="Mètre">mètre</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Décomposition_de_surface"><span id="D.C3.A9composition_de_surface"></span>Décomposition de surface</h3></div>

<p>Dans le plan, le calcul de l'aire d'un domaine peut être évalué en approchant ce domaine par une réunion de triangles disjoints.

</p><p>Plus généralement, des surfaces de l'espace peuvent être approchées par une réunion de triangles appelées <i>facettes</i>. Cette technique est utilisée en <a href="Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">analyse numérique</a> dans la <a href="M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis" title="Méthode des éléments finis">méthode des éléments finis</a>, mais aussi en <a href="Imagerie_num%C3%A9rique" class="mw-redirect" title="Imagerie numérique">imagerie numérique</a>. L'<a href="Analyse_vectorielle" title="Analyse vectorielle">analyse vectorielle</a> permet d'ailleurs de calculer rapidement l'orientation d'une telle facette et d'en déduire la réflexion du <a href="Rayon_lumineux" title="Rayon lumineux">rayonnement lumineux</a> d'une source ponctuelle dans une direction donnée.

</p><p>Plusieurs <a href="Poly%C3%A8dre" title="Polyèdre">polyèdres</a> (réguliers ou non) ont des faces triangulaires, comme le <a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre" title="Tétraèdre">tétraèdre</a>, l'<a href="Octa%C3%A8dre" title="Octaèdre">octaèdre</a>, l'<a href="Icosa%C3%A8dre" title="Icosaèdre">icosaèdre</a> et le <a href="Grand_icosa%C3%A8dre" title="Grand icosaèdre">grand icosaèdre</a>. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés <a href="Delta%C3%A8dre" title="Deltaèdre">deltaèdres</a>.

</p><p>D'autre part, tout polygone peut être découpé en un nombre fini de triangles qui forment alors une <a href="Triangulation" title="Triangulation">triangulation</a> de ce polygone. Le nombre minimal de triangles nécessaire à ce découpage est <i>n</i>-2, où <i>n</i> est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour celle des autres polygones, par exemple pour la démonstration du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pick" title="Théorème de Pick">théorème de Pick</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Constructions_géométriques_associées"><span id="Constructions_g.C3.A9om.C3.A9triques_associ.C3.A9es"></span>Constructions géométriques associées</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_médian"><span id="Triangle_m.C3.A9dian"></span>Triangle médian</h3></div>

<p>Si on joint les trois milieux des côtés d'un triangle, on obtient quatre <a href="Triangles_semblables" title="Triangles semblables">triangles semblables</a> au triangle initial, l'aire de chacun des triangles est le quart de celle du triangle initial.

</p><p>On appelle <b>triangle médian</b> le triangle central dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle initial (c'est donc le <a href="Triangle_c%C3%A9vien" title="Triangle cévien">triangle cévien</a> du centre de gravité). Ce triangle médian se trouve « inversé » par rapport aux trois autres.

</p><p>D'après le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_des_milieux" title="Théorème des milieux">théorème des milieux</a>, ce triangle médian a ses côtés parallèles à ceux du triangle initial et des longueurs de côté proportionnelles dans un rapport de 1/2.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Médiatrices_et_centre_du_cercle_circonscrit"><span id="M.C3.A9diatrices_et_centre_du_cercle_circonscrit"></span>Médiatrices et centre du cercle circonscrit</h3></div>

<p>Si le triangle est non plat, les trois <a href="M%C3%A9diatrice" title="Médiatrice">médiatrices</a> des côtés (les droites coupant les côtés à angle droit en leur milieu) sont <a href="Droites_concourantes" title="Droites concourantes">concourantes</a> en un point appelé centre du <a href="Cercle_circonscrit_%C3%A0_un_triangle" title="Cercle circonscrit à un triangle">cercle circonscrit</a>, car il est le seul équidistant des trois sommets, c'est-à-dire qu'il est le centre du seul cercle passant par les trois sommets. Ce centre est souvent noté <i>O</i> ou Ω (« <a href="Om%C3%A9ga" title="Oméga">oméga</a> »).

</p><p>Un triangle est rectangle si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'un de ses côtés (qui est alors son <a href="Hypot%C3%A9nuse" title="Hypoténuse">hypoténuse</a>).

</p>

<p>Pour un triangle <a href="Acutangle" title="Acutangle">acutangle</a>, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle. Pour un <a href="Triangle_obtusangle" title="Triangle obtusangle">triangle obtusangle</a>, ce centre est à l'extérieur.

</p><p>Le produit du <a href="Rayon_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Rayon (géométrie)">rayon</a> du cercle circonscrit et de l'aire du triangle est le quart du produit des longueurs de côtés du triangle.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Céviennes"><span id="C.C3.A9viennes"></span>Céviennes</h3></div>

<p>Une <a href="C%C3%A9vienne" title="Cévienne">cévienne</a> d'un triangle est un segment de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé. Les médianes, hauteurs et bissectrices sont des céviennes particulières.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Médianes_et_centres_de_gravité"><span id="M.C3.A9dianes_et_centres_de_gravit.C3.A9"></span>Médianes et centres de gravité</h4></div>

<p>Dans un triangle, une <a href="M%C3%A9diane_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Médiane (géométrie)">médiane</a> est un segment qui relie un sommet au <a href="Milieu_d'un_segment" title="Milieu d'un segment">milieu</a> du côté opposé. Chaque médiane divise un triangle en deux triangles d'aires égales.

</p><p>Si le triangle est non plat, les trois médianes sont <a href="Concourant" class="mw-redirect" title="Concourant">concourantes</a> en un point qui est l'<a href="Isobarycentre" class="mw-redirect" title="Isobarycentre">isobarycentre</a> des trois sommets, souvent appelé « <a href="Centre_de_gravit%C3%A9" title="Centre de gravité">centre de gravité</a> » par <a href="Abus_de_langage" title="Abus de langage">abus de langage</a>. Ce point, souvent noté <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> et situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet, est en effet le <a href="Centre_de_masse_d'une_plaque_homog%C3%A8ne#Centre_de_masse_d'un_triangle" title="Centre de masse d'une plaque homogène">centre de masse de la plaque triangulaire homogène délimitée par les côtés du triangle</a>. Notons que le <a href="Cercles_inscrit_et_exinscrits_d'un_triangle#Cercle_inscrit_dans_le_triangle_médian" title="Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle">centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle</a> est un autre point appelé <a href="Cercle_de_Spieker" title="Cercle de Spieker">point de Spieker</a>.

</p><p>Les trois médianes concourantes divisent le triangle en six triangles de même aire.

</p><p>La longueur de la médiane est reliée aux longueurs des autres côtés par le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_m%C3%A9diane" title="Théorème de la médiane">théorème de la médiane</a> ou théorème d'Apollonius.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hauteurs_et_orthocentre">Hauteurs et orthocentre</h4></div>

<p>Si les trois sommets sont distincts, une <a href="Hauteur_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Hauteur (géométrie)">hauteur</a> est une droite passant par un sommet et <a href="Perpendiculaire" class="mw-redirect" title="Perpendiculaire">perpendiculaire</a> au côté opposé. Si le triangle est non plat, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé <i>orthocentre</i>, souvent noté <i>H</i>.

</p><p>Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est l'un des sommets (en lequel se trouve alors l'angle droit).

Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle. Pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

</p><p>Les trois médiatrices d'un triangle sont les trois hauteurs de son triangle médian et par conséquent, le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'orthocentre du triangle médian.

</p><p>Le <a href="Point_de_Longchamps" title="Point de Longchamps">point de Longchamps</a> est le <a href="Sym%C3%A9trie_centrale" title="Symétrie centrale">symétrique</a> de l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bissectrices_et_centre_du_cercle_inscrit">Bissectrices et centre du cercle inscrit</h4></div>

<p>Si le triangle est non plat, les trois <a href="Bissectrice" title="Bissectrice">bissectrices</a> de ses angles (les demi-droites qui partagent les angles en deux angles de même mesure) sont concourantes en un point appelé centre du <a href="Cercle_inscrit" title="Cercle inscrit">cercle inscrit</a>, car il est le centre du seul cercle <a href="Tangente_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Tangente (géométrie)">tangent</a> aux trois côtés. Ce centre est en général noté <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> ou <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"></span>.

</p><p>D'après le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Steiner-Lehmus" title="Théorème de Steiner-Lehmus">théorème de Steiner-Lehmus</a>, les longueurs de deux bissectrices dans un triangle sont égales si, et seulement si, les angles correspondants ont une même mesure.

</p><p>Les points de contact de ce cercle inscrit avec les côtés forment le <a href="Triangle_de_Gergonne" class="mw-redirect" title="Triangle de Gergonne">triangle de Gergonne</a>. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés dans le triangle sont concourantes en un point appelé <a href="Point_de_Gergonne" class="mw-redirect" title="Point de Gergonne">point de Gergonne</a>.

</p><p>Chaque bissectrice divise le côté opposé en deux segments dont les longueurs sont proportionnelles à celles des côtés de l'angle grâce à la <a href="Loi_des_sinus" title="Loi des sinus">loi des sinus</a>.

</p><p>Le segment de bissectrice allant (par exemple) du sommet <span class="texhtml">A</span> jusqu'au côté <span class="texhtml">BC</span> a pour longueur :

</p>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {AM} ={\frac {2\,bc}{b+c}}\cos \left({\frac {\hat {A}}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88e8e40e2de2cddde5b38d6ca1867252c5850f1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.445ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {AM} ={\frac {2\,bc}{b+c}}\cos \left({\frac {\hat {A}}{2}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span> et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> désignent les longueurs des côtés <span class="texhtml">AC</span> et <span class="texhtml">AB</span>, et <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}}" loading="lazy"></span> l'angle en <span class="texhtml">A</span>.

</p>

<div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">

<p>Dans un <a href="Base_orthonorm%C3%A9e" title="Base orthonormée">repère orthonormé</a> où l'on a pris l'origine <span class="texhtml">O</span> en <span class="texhtml">A</span> et l'axe <span class="texhtml">O<i>x</i></span> le long de <span class="texhtml">AB</span>, les points <span class="texhtml">A</span>, <span class="texhtml">B</span> et <span class="texhtml">C</span> ont respectivement pour coordonnées <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fde1d2813d28b59afd35f5e3eb2261f647fa8556.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c,0)}" loading="lazy"></span> et <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [b\cos(2\theta ),b\sin(2\theta )]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [b\cos(2\theta ),b\sin(2\theta )]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4067d425a216cb2f77f8fda9f9c777e304465fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [b\cos(2\theta ),b\sin(2\theta )]}" loading="lazy"></span>, où l'on a noté <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> l'angle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}/2}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}/2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/170b410083e43cf638d5816c91165a942d1aebff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.101ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}/2}" loading="lazy"></span>. Le point <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> est à l'intersection de la bissectrice (d'équation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\sin \theta -y\cos \theta =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\sin \theta -y\cos \theta =0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e90e17dcc90d4b862d54a5b7a97dd02daef898e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\sin \theta -y\cos \theta =0}" loading="lazy"></span>) et de la droite portant le segment <span class="texhtml">BC</span> (d'équation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bx\sin(2\theta )-y[b\cos(2\theta )-c]=bc\sin(2\theta )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bx\sin(2\theta )-y[b\cos(2\theta )-c]=bc\sin(2\theta )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18fab303d5078da6eae4f9cc1a35cc26c11bb90f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.735ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle bx\sin(2\theta )-y[b\cos(2\theta )-c]=bc\sin(2\theta )}" loading="lazy"></span>). En résolvant ce <a href="Syst%C3%A8me_d'%C3%A9quations_lin%C3%A9aires" title="Système d'équations linéaires">système de deux équations linéaires</a> à deux inconnues on trouve pour l'abscisse de <span class="texhtml">M</span> :

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {bc\sin(2\theta )\cos \theta }{b\sin(2\theta )\cos \theta -[b\cos(2\theta )-c]\sin \theta }}={\frac {2\,bc\cos ^{2}\!\theta }{b+c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed3751feec73c12bd888665ec324f93330c9cea0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:52.934ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {bc\sin(2\theta )\cos \theta }{b\sin(2\theta )\cos \theta -[b\cos(2\theta )-c]\sin \theta }}={\frac {2\,bc\cos ^{2}\!\theta }{b+c}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {AM} =x/\cos \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/121becdff2fb29687b9d02984790dae13a944aeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.44ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {AM} =x/\cos \theta }" loading="lazy"></span>, d'où le résultat.

</p>

</div><div class="clear" style="clear:both;"></div>

</div>

<p>Le rayon du cercle inscrit est le quotient de l'aire du triangle par son demi-périmètre.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Droite_et_cercle_d'Euler"><span id="Droite_et_cercle_d.27Euler"></span>Droite et cercle d'Euler</h3></div>

<p>Le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés sur une droite appelée <a href="Droite_d'Euler" title="Droite d'Euler">droite d'Euler</a> et satisfont la relation <a href="Vecteur" title="Vecteur">vectorielle</a> :

</p>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OH} }}=3\,{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbd34c7caaa34daf82546f7c79f3740a36bdd737.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:12.739ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OH} }}=3\,{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>En outre, les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant l'orthocentre aux sommets sont tous sur un même cercle appelé <a href="Cercle_d'Euler" title="Cercle d'Euler">cercle d'Euler</a>, dont le centre est également sur la droite d'Euler.

</p><p>Particularité : soit M un point de la droite d'Euler. Les cercles d'Euler des triangles AHM, BHM et CHM se recoupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC. Si M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, alors le point de concours est nommé <i>point de Jérabek</i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Relations">Relations</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangles_isométriques"><span id="Triangles_isom.C3.A9triques"></span>Triangles isométriques</h3></div>

<p>Deux triangles sont dits <a href="Triangles_isom%C3%A9triques" title="Triangles isométriques">isométriques</a>, superposables ou égaux<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, s'ils ont les mêmes longueurs de côté. Dans ce cas il est possible de faire <a href="Bijection" title="Bijection">correspondre</a> les sommets de l'un avec les sommets de l'autre par une <a href="Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométrie</a> (par exemple, une <a href="Translation_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Translation (géométrie)">translation</a>, une <a href="Rotation_plane" title="Rotation plane">rotation</a> ou une <a href="Sym%C3%A9trie_(transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique)" title="Symétrie (transformation géométrique)">symétrie</a>) et cette correspondance relie alors des angles de même mesure. Ces triangles ont donc aussi la même aire.

</p><p>Cette première définition est équivalente à chacune des trois suivantes :

</p>

<ul><li>les trois longueurs des côtés du premier triangle sont les <i>mêmes</i> que celles du second (abrégé par CCC) ;</li>

<li>les deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longueurs (abrégé par CAC) ;</li>

<li>les deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures (abrégé par ACA).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangles_semblables">Triangles semblables</h3></div>

<p>Deux triangles ayant les mêmes mesures d'angle sont dits <a href="Triangles_semblables" title="Triangles semblables">semblables</a>. Ils ne sont pas nécessairement isométriques, mais leurs longueurs de côté sont proportionnelles avec un même coefficient de proportionnalité <i>k</i>. Leurs aires sont alors reliées par un facteur <i>k</i><sup>2</sup>.

</p><p>Il existe en effet une <a href="Similitude_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Similitude (géométrie)">similitude</a> (qui est la composée d'une isométrie et d'une <a href="Homoth%C3%A9tie" title="Homothétie">homothétie</a>) qui transforme l'un en l'autre. Cette définition équivaut à :

</p>

<ul><li>les trois angles du premier ont mêmes mesures que ceux du second (abrégé par AAA), (en fait deux angles suffisent : le troisième s'en déduit)</li></ul>

<p>ou encore à :

</p>

<ul><li>les trois longueurs des côtés du premier sont <i>proportionnelles</i> à celles du second.</li></ul>

<p>Deux triangles isométriques sont toujours semblables. Deux triangles équilatéraux (non nécessairement isométriques) aussi.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Autres_figures_relatives">Autres figures relatives</h2></div>

<p>Il existe trois autres cercles tangents simultanément aux trois droites qui portent les côtés d'un triangle, et sont tous trois extérieurs à ce triangle ; ils sont dits <i>exinscrits</i>. Les points d'intersection de ces cercles exinscrits avec les côtés du triangle forment le triangle de Nagel. Les segments reliant ces points de contact avec les sommets opposés du triangle sont concourants en un point appelé point de Nagel.

</p><p>Le cercle dont un diamètre relie le point de Nagel à l'orthocentre est appelé <a href="Cercle_de_Fuhrmann" class="mw-redirect" title="Cercle de Fuhrmann">cercle de Fuhrmann</a> et son rayon est égal à la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit.

</p><p>Les centres des trois cercles exinscrits forment le triangle de Bevan, qui est homothétique au triangle de Gergonne. Le centre de son cercle circonscrit est appelé point de Bevan.

</p><p>Les trois cercles exinscrits sont tangents intérieurement à un cercle appelé <a href="Cercle_d'Apollonius" class="mw-redirect" title="Cercle d'Apollonius">cercle d'Apollonius</a>. Les droites reliant les points de contact aux sommets opposés du triangle sont concourantes en un point appelé point d'Apollonius.

</p><p>Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont tous tangents au cercle d'Euler. Les points de contact sont appelés <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Feuerbach" title="Théorème de Feuerbach">points de Feuerbach</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symédianes_et_point_de_Lemoine"><span id="Sym.C3.A9dianes_et_point_de_Lemoine"></span>Symédianes et point de Lemoine</h3></div>

<p>Une <a href="Sym%C3%A9diane" title="Symédiane">symédiane</a> est une droite symétrique de la médiane par rapport à une bissectrice issue du même sommet. Les trois symédianes sont concourantes en un point appelé point de Lemoine.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Point_de_Fermat">Point de Fermat</h3></div>

<p>Dans un triangle acutangle, il existe un unique point qui minimise la somme des distances aux sommets. En ce point, appelé <a href="Point_de_Fermat" title="Point de Fermat">point de Fermat</a>, les angles formés par les segments vers les sommets du triangle sont tous de 120°.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Points,_droite_et_cercle_de_Brocard"><span id="Points.2C_droite_et_cercle_de_Brocard"></span>Points, droite et cercle de Brocard</h3></div>

<p>Si un triangle est non plat, il existe deux points appelés <a href="Points_de_Brocard" title="Points de Brocard">points de Brocard</a> pour lesquels les segments vers les sommets subdivisent le triangle en trois triangles ayant un angle de même mesure par permutation des sommets du triangle initial.

La mesure de cet angle est alors la même pour les deux points.

</p><p>La droite de Brocard est la droite qui passe par ces deux points.

</p><p>Les points de Brocard appartiennent au <a href="Cercle_de_Brocard" title="Cercle de Brocard">cercle de Brocard</a> dont un diamètre a pour extrémités le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine.

</p><p>D'après le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'Alasia" title="Théorème d'Alasia">théorème d'Alasia</a>, la droite de Brocard est parallèle à l'un des côtés si et seulement si le triangle est isocèle avec ce côté pour base.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ellipse_de_Steiner"><a href="Ellipse_de_Steiner" title="Ellipse de Steiner">Ellipse de Steiner</a></h3></div>

<p>Dans un triangle non plat, il existe une unique <a href="Ellipse_(math%C3%A9matiques)" title="Ellipse (mathématiques)">ellipse</a> tangente à chaque côté en son milieu.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Autres_résultats"><span id="Autres_r.C3.A9sultats"></span>Autres résultats</h2></div>

<p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Thal%C3%A8s" title="Théorème de Thalès">théorème de Thalès</a> relie les longueurs de côtés de deux triangles semblables ayant un sommet commun et les côtés opposés parallèles.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Napol%C3%A9on" title="Théorème de Napoléon">théorème de Napoléon</a> affirme que les centres des triangles équilatéraux formés extérieurement sur les côtés d'un triangle sont eux-mêmes les sommets d'un triangle équilatéral.

</p><p>Le « <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_japonais_de_Carnot" title="Théorème japonais de Carnot">théorème japonais de Carnot</a> » établit que la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit est égale à la somme des distances du centre du cercle circonscrit aux côtés du triangle.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_M%C3%A9n%C3%A9la%C3%BCs" title="Théorème de Ménélaüs">théorème de Ménélaüs</a> donne une condition nécessaire et suffisante pour l'alignement de trois points alignés respectivement avec les côtés d'un triangle.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Morley" title="Théorème de Morley">théorème de Morley</a> affirme que les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Nagel" title="Théorème de Nagel">théorème de Nagel</a> montre que la bissectrice d'un angle d'un triangle est la même que celle de l'angle en ce sommet dont les côtés passent par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Neuberg" title="Théorème de Neuberg">théorème de Neuberg</a> établit que les centres de trois carrés obtenus par une construction géométrique particulière sur un triangle sont les milieux des côtés de ce triangle.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hamilton" title="Théorème de Hamilton">théorème de Hamilton</a> stipule que le cercle d'Euler est le même pour les quatre triangles formés par un groupe orthocentrique.

</p><p>Le <a href="Relations_d'Euler_dans_le_triangle" title="Relations d'Euler dans le triangle">théorème d'Euler en géométrie</a> exprime la distance <i>d</i> entre les centres des cercles inscrit et circonscrit en fonction de leurs rayons respectifs <i>r</i> et <i>R</i> par <span class="texhtml"><i>d</i><sup>2</sup> = <i>R</i>(<i>R</i> – 2<i>r</i>)</span>. Il en découle que le rayon du cercle inscrit est au moins deux fois plus petit que celui du cercle circonscrit (inégalité d'Euler).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Avec_des_céviennes"><span id="Avec_des_c.C3.A9viennes"></span>Avec des céviennes</h3></div>

<p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Ceva" title="Théorème de Ceva">théorème de Ceva</a> donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites (appelées <i><a href="C%C3%A9vienne" title="Cévienne">céviennes</a></i>) passant respectivement par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gergonne" title="Théorème de Gergonne">théorème de Gergonne</a> donne alors une relation entre les longueurs des céviennes et les longueurs des segments qui relient leur point d'intersection aux sommets.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stewart" title="Théorème de Stewart">théorème de Stewart</a> relie la longueur d'une cévienne aux longueurs des côtés des deux triangles qu'elle forme.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Terquem" title="Théorème de Terquem">théorème de Terquem</a> montre que le cercle pédal, circonscrit au <a href="Triangle_c%C3%A9vien" title="Triangle cévien">triangle pédal</a> formé par les trois pieds de céviennes concourantes, coupe les côtés du triangle en trois points qui sont également les pieds de céviennes concourantes.

</p><p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Routh" title="Théorème de Routh">théorème de Routh</a> donne le quotient des surfaces entre l'aire du triangle formé par trois céviennes, et celle d'un triangle donné.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Avec_des_cercles">Avec des cercles</h3></div>

<p>Le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_des_six_cercles" title="Théorème des six cercles">théorème des six cercles</a> montre qu'une suite de cercles successivement tangents extérieurement et tangents intérieurement à deux côtés d'un triangle (les côtés variant par <a href="Permutation_circulaire" title="Permutation circulaire">permutation circulaire</a>) est 6-périodique.

</p><p>La réciproque du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Miquel" title="Théorème de Miquel">théorème des trois cercles de Miquel</a> montre que trois cercles passant respectivement par les sommets d'un triangle et sécants le long des côtés correspondants sont concourants en un point appelé point de Miquel.

</p><p>En 1993, B. Sherman a établi l'existence d'un « quatrième côté » d'un triangle, soit un segment de droite dont les extrémités sur le cercle circonscrit, tangent au cercle inscrit et dont le milieu est sur le cercle d'Euler du triangle de référence<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralisations"><span id="G.C3.A9n.C3.A9ralisations"></span>Généralisations</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polygones">Polygones</h3></div>

<p>Un triangle étant un polygone à trois côtés, certaines propriétés se généralisent pour un plus grand nombre de côtés, comme l'inégalité triangulaire ou la somme des angles (pour un polygone non croisé), mais l'aire et les angles ne dépendent plus seulement des longueurs des côtés. Il y a aussi moins de résultats valables en toute généralité sur les droites ou points remarquables. Cependant, certaines conditions permettent d'en retrouver comme dans le cas de quadrilatères particuliers (parallélogrammes notamment) ou inscriptibles dans un cercle.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="En_plus_grande_dimension">En plus grande dimension</h3></div>

<p>Dans l'espace, trois points sont toujours <a href="Coplanaire" title="Coplanaire">coplanaires</a> et ne suffisent donc pas pour définir un élément de <a href="Volume" title="Volume">volume</a>. Mais quatre points non coplanaires forment un <a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre" title="Tétraèdre">tétraèdre</a>. Plus généralement, un <a href="Simplexe" title="Simplexe">simplexe</a> est une figure géométrique <a href="Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexe</a> engendré par <i>n</i> points dans un espace à au moins <i>n</i>−1 <a href="Dimension_d'un_espace_affine" class="mw-redirect" title="Dimension d'un espace affine">dimensions</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2></div>

<p>Aucun document mathématique de l'<a href="Ancien_Empire" title="Ancien Empire">Ancien Empire</a> ne nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale des <a href="IIIe_dynastie_%C3%A9gyptienne" title="IIIe dynastie égyptienne"><abbr class="abbr" title="Troisième">III<sup>e</sup></abbr></a> et <a href="IVe_dynastie_%C3%A9gyptienne" title="IVe dynastie égyptienne"><abbr class="abbr" title="Quatrième">IV<sup>e</sup></abbr> dynastie</a> constitue une preuve que les Égyptiens de cette époque détenaient des connaissances relativement élaborées en géométrie, et en particulier dans l'étude des triangles.

</p>

<p>Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du <a href="Papyrus_Rhind" title="Papyrus Rhind">papyrus Rhind</a>, M4, M7 et M17 du <a href="Papyrus_de_Moscou" title="Papyrus de Moscou">papyrus de Moscou</a> et datant tous du <a href="Moyen_Empire" title="Moyen Empire">Moyen Empire</a>. Le problème R51 constitue, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.

</p>

<dl><dt>Énoncé du problème R51 du <a href="Papyrus_Rhind" title="Papyrus Rhind">papyrus Rhind</a><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dt>

<p>« Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit : un triangle de 10 khet sur son <i>mryt</i> et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie. »

</p>

</blockquote>

<p>Le terme <i>mryt</i> signifie probablement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle formé par ce côté et la hauteur, soit

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {base}{2}}{mryt}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00195f51c9d29b1d20a1f2c1c6db7f8ab8544912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.163ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {base}{2}}{mryt}}" loading="lazy"></span></center>

<p>équivalente à la formule générale utilisée de nos jours :

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={\frac {ah}{2}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4540e96dceadee3567090a0d85c9234dab7e59ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.649ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle S={\frac {ah}{2}}.}" loading="lazy"></span></center>

<p><a href="Euclide" title="Euclide">Euclide</a>, dans le livre <abbr class="abbr" title="1"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">I</span></abbr> de ses <i><a href="%C3%89l%C3%A9ments_d'Euclide" class="mw-redirect" title="Éléments d'Euclide">Éléments</a></i>, vers -300, énonce la propriété sur la somme des angles du triangle et les trois cas d'égalité des triangles (voir ci-dessus le paragraphe sur les triangles isométriques).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3></div>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans le cas où deux sommets sont confondus, la direction du côté qui les relie n'est pas définie et les angles adjacents non plus.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h3></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Baruk"><span class="ouvrage" id="Stella_Baruk"><a href="Stella_Baruk" title="Stella Baruk">Stella <span class="nom_auteur">Baruk</span></a>, <cite style="font-style:normal">« Triangle »</cite>, dans <cite class="italique">Dictionnaire de mathématiques élémentaires</cite> <small>[détail des éditions]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Dictionnaire+de+math%C3%A9matiques+%C3%A9l%C3%A9mentaires&rft.atitle=Triangle&rft.aulast=Baruk&rft.aufirst=Stella&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Les angles 30° et 60° ont été choisis car ils sont très utilisés en <a href="Dessin_technique" title="Dessin technique">dessin technique</a>, lorsque l'on fait des <a href="Hachures#Dessin_technique" title="Hachures">hachures</a> ou des perspectives <a href="Perspective_axonom%C3%A9trique#Dessin_industriel" title="Perspective axonométrique">axonométriques</a> ou <a href="Perspective_isom%C3%A9trique" title="Perspective isométrique">isométriques</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir la démonstration sur la page <a rel="nofollow" class="external text" href="http://debart.pagesperso-orange.fr/college/triangle_college_classique.html#ch8">triangle au collège</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="need_ref" title="Un complément est nécessaire pour cette référence." style="cursor:help;"><i>Histoire des nombres</i>.</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[réf. incomplète]</sup></span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">Ce dernier terme est plutôt utilisé dans les ouvrages anciens, par exemple dans <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68013g/f32.image">cette traduction</a> des <i>Éléments</i> d'Euclide, ou bien dans certains ouvrages de collège, par exemple : <span class="ouvrage" id="Solnon_&_autres2016"><span class="ouvrage" id="Mathieu_Solnon_&_autres2016">Mathieu Solnon & autres, <cite class="italique">Maths Cycle 4</cite>, lelivrescolaire.fr, <time>2016</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.calameo.com/read/00059672973745bf610d2">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 287<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Maths+Cycle+4&rft.pub=lelivrescolaire.fr&rft.au=Mathieu+Solnon+%26+autres&rft.date=2016&rft.pages=287&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Sherman1993"><span class="ouvrage" id="B.F._Sherman1993"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> B.F. Sherman, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The Fourth Side of a Triangle</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Mathematics Magazine</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 66, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 5,‎ <time>1993</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">333–37</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class=" noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307/2690519">10.2307/2690519</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Fourth+Side+of+a+Triangle&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.issue=5&rft.aulast=Sherman&rft.aufirst=B.F.&rft.date=1993&rft.volume=66&rft.pages=%3Cabbr+class%3D%22abbr%22+title%3D%22pages%22%3Ep.%3C%2Fabbr%3E%26nbsp%3B%3Cspan+class%3D%22nowrap%22%3E333%E2%80%9337%3C%2Fspan%3E&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2690519&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Yiu2012"><span class="ouvrage" id="Paul_Yiu2012"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Paul Yiu, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Sherman’s Fourth Side of a Triangle</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Forum Geometricorum</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 12,‎ <time>2012</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">219–225</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201220.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Sherman%E2%80%99s+Fourth+Side+of+a+Triangle&rft.jtitle=Forum+Geometricorum&rft.aulast=Yiu&rft.aufirst=Paul&rft.date=2012&rft.volume=12&rft.pages=%3Cabbr+class%3D%22abbr%22+title%3D%22pages%22%3Ep.%3C%2Fabbr%3E%26nbsp%3B%3Cspan+class%3D%22nowrap%22%3E219%E2%80%93225%3C%2Fspan%3E&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#ABC">A. Buffum Chace, <i>Rhind papyrus</i></a>, pl. 73.</span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#CM">Clagett, <i>Ancient Egyptian Science</i></a>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 70.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="ABC"><span class="nom_auteur">Arnold Buffum Chace <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arnold_Buffum_Chace" class="extiw external" title="en:Arnold Buffum Chace"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Arnold Buffum Chace »">(en)</span></a></span>, <cite class="italique">The Rhind Mathematical Papyrus : Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> <abbr class="abbr" title="2"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>, 1927-1929<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Rhind+Mathematical+Papyrus+%3A+Free+Translation+and+Commentary+with+Selected+Photographs%2C+Translations%2C+Transliterations+and+Literal+Translations&rft.aulast=%3AArnold+Buffum+Chace&rft.date=1929&rft.volume=%3Cabbr+class%3D%22abbr+%22+title%3D%222%22+%3E%3Cspan+class%3D%22romain%22+style%3D%22text-transform%3Auppercase%22%3EII%3C%2Fspan%3E%3C%2Fabbr%3E&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></li>

<li>Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-2-91-635208-4</span>)</small></li>

<li><span class="ouvrage" id="CM"><span class="nom_auteur"><a href="Marshall_Clagett" title="Marshall Clagett">Marshall Clagett</a></span>, <cite class="italique">Ancient Egyptian Science, A Source Book</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 3 : <span class="italique">Ancient Egyptian Mathematics</span>, American Philosophical Society, <time>1999</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Ancient+Egyptian+Science%2C+A+Source+Book&rft.pub=American+Philosophical+Society&rft.aulast=Marshall+Clagett&rft.date=1999&rft.volume=3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle"></span></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Aire_d'un_triangle" title="Aire d'un triangle">Aire d'un triangle</a></li>

<li><a href="Centre_du_triangle" title="Centre du triangle">Centres du triangle</a></li>

<li><a href="Nombre_triangulaire" title="Nombre triangulaire">Nombre triangulaire</a></li>

<li><a href="Liste_des_%C3%A9l%C3%A9ments_remarquables_d'un_triangle" class="mw-redirect" title="Liste des éléments remarquables d'un triangle">Liste des éléments remarquables d'un triangle</a></li>

<li><a href="R%C3%A9solution_d'un_triangle" title="Résolution d'un triangle">Résolution d'un triangle</a></li>

<li><a href="Triangle_de_Pascal" title="Triangle de Pascal">Triangle de Pascal</a></li>

<li><a href="Triangle_de_Penrose" title="Triangle de Penrose">Triangle de Penrose</a></li>

<li><a href="Triangle_de_Sierpi%C5%84ski" title="Triangle de Sierpiński">Triangle de Sierpiński</a></li>

<li><a href="Triangle_de_Kobon" title="Triangle de Kobon">Triangle de Kobon</a></li>

<li><a href="Symbolique_du_triangle" title="Symbolique du triangle">Symbolique du triangle</a></li>

<li><a href="Coniques_circonscrites_et_inscrites_%C3%A0_un_triangle" title="Coniques circonscrites et inscrites à un triangle">Coniques circonscrites et inscrites à un triangle</a></li>

<li><a href="Triangle_(caract%C3%A8re)" title="Triangle (caractère)">Triangle (caractère)</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

</p>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers">Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes</span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/triangle-mathematics"><i>Britannica</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk//trekant/"><i>Den Store Danske Encyklopædi</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0148056.xml"><i>Gran Enciclopèdia Catalana</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3989361"><i>Internetowa encyklopedia PWN</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/triangle/99122"><i>Larousse</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/triangel"><i>Store norske leksikon</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.treccani.it/enciclopedia/triangolo"><i>Treccani</i></a></li> </ul></div></li>

<li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers"><a href="Autorit%C3%A9_(sciences_de_l'information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a></span> : <ul><li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11946969k">BnF</a></span> (<span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11946969k">données</a></span>)</li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85137407">LCCN</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007548775205171">Israël</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph126753">Tchéquie</a></span></li> </ul></div></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/tout_sur_le_triangle.pdf">Texte de problème</a> sur les propriétés classiques du triangle, avec indications de démonstration.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rlefebvre.ca/triangulateur/triangulateur.htm">Triangulateur</a> Calculatrice de triangle à partir d'un minimum de données. Avec dessin du triangle.</li>

<li><span class="ouvrage" id="Kimberling"><span class="ouvrage" id="Clark_Kimberling">Clark Kimberling, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html"><cite style="font-style:normal;">Encyclopedia of triangle centers - ETC</cite></a> » <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2022-04-06" data-sort-value="2022-04-06">6 avril 2022</time>)</small></span></span></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-09-10" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Triangle&oldid=228855648">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

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